Критерий различий манна уитни. Автоматический расчет U-критерия Манна-Уитни

14.10.2019

Назначение критерия

U - критерий Манна-Уитни предназначен для оценки различий между двумя выборками по уровню какого-либо признака, измеренного начиная со шкалы порядка (не ниже). Он позволяет выявлять различия между малыми выборками, когда n 1 , n 2 3 или n 1 = 2, n 2 5, и является более мощным, чем критерий Розенбаума.

Этот метод определяет, достаточно ли мала зона перекрещивающихся значений между двумя рядами упорядоченных значений. При этом 1-м рядом (выборкой группой) называется тот ряд значений, в котором значения, по предварительной оценке, выше, а 2-м рядом - тот, где они предположительно ниже.

Чем меньше область перекрещивающихся значений, тем более вероятно, что различия достоверны. Иногда эти различия называют различиями в расположении двух выборок.

Расчетное (эмпирическое) значение критерия U отражает то, насколько велика зона совпадения между рядами. Поэтому чем меньше U эмп. , тем более вероятно, что различия достоверны.

Ограничения критерия

Признак должен быть измерен по ординальной, интервальной или пропорциональной шкале.

Выборки должны быть независимыми.

В каждой выборке должно быть не менее 3 наблюдений: n 1 , n 2  3 ; допускается, чтобы в одной выборке было 2 наблюдения, но тогда во второй их должно быть не менее 5.

В каждой выборке должно быть не более 60 наблюдений: n 1 , n 2  60. Однако уже приn 1 , n 2  20 ранжирование становится достаточно трудоемким.

Алгоритм подсчета критерия Манна-Уитни.

Для расчета критерия необходимо мысленно все значения 1-й выборки и 2-й выборки объединить в одну общую объединенную выборку и упорядочить их.

Все расчеты удобно производить в таблице (таблица 28), состоящей из 4-х столбцов. В эту таблицу заносятся упорядоченные значения объединенной выборки.

При этом:

значения объединенной выборки упорядочиваются по нарастанию значений;

значения каждой из выборок записываются в свой столбик: значения 1-й выборки записываются в столбик № 2, значения 2-й выборки записываются в столбик № 3;

каждое значение записывается на отдельной строчке;

общее число строк в этой таблице равно N=n 1 +n 2 , гдеn 1 - число испытуемых в 1-й выборке,n 2 - число испытуемых во 2-й выборке

Таблица 28

R 1			R 2

Значения объединенной выборки ранжируются согласно правилам ранжирования, причем в столбике № 1 записываются ранги R 1 соответствующие значениям 1-й выборки, в столбике № 4 - ранги R 2 , соответствующие значениям 2-й выборки,

Подсчитывается сумма рангов отдельно по столбику № 1 (для выборки 1) и отдельно по столбику № 4 (для выборки 2). Обязательно проверить, совпадает ли общая сумма рангов с расчетной суммой рангов для объединенной выборки.

Определить бόльшую из двух ранговых сумм. Обозначим ее как Т х.

Определить расчетное значение критерия U по формуле:

где n 1 - количество испытуемых в выборке 1,

n 2 - количество испытуемых в выборке 2,

T x - бόльшая из двух ранговых сумм,

n x - количество испытуемых в выборке с бόльшей суммой рангов.

Правило вывода: Определить критические значения U по таблице критических значений для критерия Манна-Уитни.

Если U эмп. U кр. 0,05 , различия между выборками статистически незначимы.

Если U эмп. U кр. 0,05 , различия между выборками статистически достоверны.

Чем меньше значения U, тем достоверность различий выше.

Контрольные вопросы:

Назовите условия применения критерия Стьюдента.

Какие параметры распределений признаков необходимо знать для того, чтобы рассчитать критерий Стьюдента?

Сформулируйте правило принятия решения по результатам расчетов критерия Стьюдента.

Почему при расчете критерия Стьюдента необходимо параллельно оценивать и изменчивость признаков в выборках?

Каким образом можно сравнить две дисперсии?

В каких случаях в правило вывода критерия Стьюдента необходимо вводить поправку Снедекора?

Назовите условия применения критерия Розенбуама.

Сформулируйте правило принятия решения по результатам расчетов критерия Розенбаума.

Перечислите условия применения критерия Манна-Уитни.

Что такое общая объединенная выборка при расчете критерия Манна-Уитни.

Сформулируйте правило принятия решения по результатам расчетов критерия Манна-Уитни.

Самостоятельное практическое задание:

Самостоятельно изучите по учебникам критерии Крускала-Уоллиса и тенденций Джонкира. Составьте конспект по схеме аналогичной той, которая использовалась в лекциях.

Материалы для изучения темы:

а) основная литература:

Ермолаев О. Ю. Математическая статистика для психологов [Текст]: учебник / О. Ю. Ермолаев. - 5-е изд. - М.: МПСИ: Флинта, 2011. - 336 с. - С. 101-124; 169-172.

Наследов А.Д. Математические методы психологического исследования: Анализ и интерпретация данных [Текст]: учебное пособие / А. Д. Наследов. - 3-е изд., стереотип. - СПб.: Речь, 2007. - 392 с. - С. 162-167; 173-176; 181-182.

Сидоренко Е. В. Методы математической обработки в психологии [Текст] / Е. В. Сидоренко. - СПб.: Речь, 2010. - 350 с.: ил. - С. 39-72.

б) дополнительная литература:

Гласс Дж. Статистические методы в педагогике и психологии [Текст]. / Дж. Гласс, Дж. Стенли- М., 1976. – 494 с. - С. 265-280.

Кутейников А.Н. Математические методы в психологии [Текст]: учебно-методический комплекс / А. Н. Кутейников. - СПб.: Речь, 2008. - 172 с.: табл. - С. 81-93.

Суходольский Г.В. Основы математической статистики для психологов [Текст]: учебник / Г. В. Суходольский. - СПб.: Изд-во СПбГУ, 1998. - 464 с. - С. 305-323.

По уровню какого-либо признака, измеренного количественно. Позволяет выявлять различия в значении параметра между малыми выборками.

Другие названия: критерий Манна - Уитни - Уилкоксона (англ. Mann - Whitney - Wilcoxon, MWW ), критерий суммы рангов Уилкоксона (англ. Wilcoxon rank-sum test ) или критерий Уилкоксона - Манна - Уитни (англ. Wilcoxon - Mann - Whitney test ).

История

Данный метод выявления различий между выборками был предложен в 1945 году Френком Уилкоксоном (F. Wilcoxon ). В 1947 году он был существенно переработан и расширен Х. Б. Манном (H. B. Mann ) и Д. Р. Уитни (D. R. Whitney ), по именам которых сегодня обычно и называется.

Описание критерия

Простой непараметрический критерий. Мощность критерия выше, чем у Q-критерия Розенбаума .

Этот метод определяет, достаточно ли мала зона перекрещивающихся значений между двумя рядами (ранжированным рядом значений параметра в первой выборке и таким же во второй выборке). Чем меньше значение критерия, тем вероятнее, что различия между значениями параметра в выборках достоверны.

Ограничения применимости критерия

В каждой из выборок должно быть не менее 3 значений признака. Допускается, чтобы в одной выборке было два значения, но во второй тогда не менее пяти.
В выборочных данных не должно быть совпадающих значений (все числа - разные) или таких совпадений должно быть очень мало.

Использование критерия

Для применения U-критерия Манна - Уитни нужно произвести следующие операции.

Автоматический расчет U-критерия Манна - Уитни

Таблица критических значений

См. также

Критерий Краскела - Уоллиса - многомерное обобщение U-критерия Манна - Уитни.

Литература

Mann H. B., Whitney D. R. On a test of whether one of two random variables is stochastically larger than the other. // Annals of Mathematical Statistics. - 1947. - № 18. - P. 50-60.
Wilcoxon F. Individual Comparisons by Ranking Methods. // Biometrics Bulletin 1. - 1945. - P. 80-83.
Гублер Е. В., Генкин А. А. Применение непараметрических критериев статистики в медико-биологических исследованиях. - Л., 1973.
Сидоренко Е. В. Методы математической обработки в психологии. - С-Пб., 2002.

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "U-критерий Манна - Уитни" в других словарях:

критерий Манна Уитни - — Тематики электросвязь, основные понятия EN Mann Whitney U test … Справочник технического переводчика

U критерий Манна Уитни (англ. Mann Whitney U test) непараметрический статистический критерий, используемый для оценки различий между двумя выборками по уровню какого либо признака, измеренного количественно. Позволяет выявлять различия в значении … Википедия

U критерий Манна Уитни (англ. Mann Whitney U test) статистический критерий, используемый для оценки различий между двумя независимыми выборками по уровню какого либо признака, измеренного количественно. Позволяет выявлять… … Википедия

- (англ. Mann Whitney U test) непараметрический статистический критерий, используемый для оценки различий между двумя выборками по уровню какого либо признака, измеренного количественно. Позволяет выявлять различия в значении параметра между малыми … Википедия

Или Критерий согласия Колмогорова Смирнова статистический критерий, использующийся для определения того, подчиняются ли два эмпирических распределения одному закону, либо того, подчиняется ли полученное распределение предполагаемой модели.… … Википедия

Уоллиса предназначен для проверки равенства медиан нескольких выборок. Данный критерий является многомерным обобщением критерия Уилкоксона Манна Уитни. Критерий Краскела Уоллиса является ранговым, поэтому он инвариантен по отношению к любому… … Википедия

Критерий Кохрена используют при сравнении трёх и более выборок одинакового объёма. Расхождение между дисперсиями считается случайным при выбранном уровне значимости, если: где квантиль случайной величины при числе суммируемых… … Википедия

- (максиминный критерий) один из критериев принятия решений в условиях неопределённости. Критерий крайнего пессимизма. История Критерий Вальда был предложен Абрахамом Вальдом в 1955 году для выборок равного объема, а затем распространен на … Википедия

Другие названия: критерий Манна - Уитни - Уилкоксона (англ. Mann - Whitney - Wilcoxon, MWW ), критерий суммы рангов Уилкоксона (англ. Wilcoxon rank-sum test ) или критерий Уилкоксона - Манна - Уитни (англ. Wilcoxon - Mann - Whitney test ). Реже: критерий числа инверсий .

Энциклопедичный YouTube

1 / 3

✪ U-критерий МАННА-УИТНИ | АНАЛИЗ ДАННЫХ #8

✪ U-критерий МАННА-УИТНИ в STATISTICA #03 | СТАТИСТИКА STATISTICA

✪ U критерий Манна Уитни

Субтитры

История

Данный метод выявления различий между выборками был предложен в 1945 году Фрэнком Уилкоксоном (F. Wilcoxon ). В 1947 году он был существенно переработан и расширен Х. Б. Манном (H. B. Mann ) и Д. Р. Уитни (D. R. Whitney ), по именам которых сегодня обычно и называется.

Описание критерия

Простой непараметрический критерий. Мощность критерия выше, чем у Q-критерия Розенбаума .

Ограничения применимости критерия

В каждой из выборок должно быть не менее 3 значений признака. Допускается, чтобы в одной выборке было два значения, но во второй тогда не менее пяти.
В выборочных данных не должно быть совпадающих значений (все числа - разные) или таких совпадений должно быть очень мало (до 10).

Использование критерия

Для применения U-критерия Манна - Уитни нужно произвести следующие операции.

Составить единый ранжированный ряд из обеих сопоставляемых выборок, расставив их элементы по степени нарастания признака и приписав меньшему значению меньший ранг. Общее количество рангов получится равным: N = n 1 + n 2 , {\displaystyle N=n_{1}+n_{2},} где - количество элементов в первой выборке, а - количество элементов во второй выборке.
Разделить единый ранжированный ряд на два, состоящие соответственно из единиц первой и второй выборок. Подсчитать отдельно сумму рангов, пришедшихся на долю элементов первой выборки, и отдельно - на долю элементов второй выборки. Определить большую из двух ранговых сумм ( T x {\displaystyle T_{x}} ), соответствующую выборке с n x {\displaystyle n_{x}} элементами.
Определить значение U-критерия Манна - Уитни по формуле: U = n 1 ⋅ n 2 + n x ⋅ (n x + 1) 2 − T x . {\displaystyle U=n_{1}\cdot n_{2}+{\frac {n_{x}\cdot (n_{x}+1)}{2}}-T_{x}.}
По таблице для избранного уровня статистической значимости определить критическое значение критерия для данных n 1 {\displaystyle n_{1}} и n 2 {\displaystyle n_{2}} . Если полученное значение U {\displaystyle U} меньше табличного или равно ему, то признается наличие существенного различия между уровнем признака в рассматриваемых выборках (принимается альтернативная гипотеза). Если же полученное значение U {\displaystyle U} больше табличного, принимается

U-критерий является ранговым , поэтому он инвариантен по отношению к любому монотонному преобразованию шкалы измерения.

Другие названия: критерий Манна-Уитни-Уилкоксона (Mann-Whitney-Wilcoxon, MWW), критерий суммы рангов Уилкоксона (Wilcoxon rank-sum test) или критерий Уилкоксона-Манна-Уитни (Wilcoxon-Mann-Whitney test, WMW).

Примеры задач

Пример 1. Первая выборка - это пациенты, которых лечили препаратом А. Вторая выборка - пациенты, которых лечили препаратом Б. Значения в выборках - это некоторая характеристика эффективности лечения (уровень метаболита в крови, температура через три дня после начала лечения, срок выздоровления, число койко-дней, и т.д.) Требуется выяснить, имеется ли значимое различие эффективности препаратов А и Б, или различия являются чисто случайными и объясняются «естественной» дисперсией выбранной характеристики.

Пример 2. Первая выборка - это поля, обработанные агротехническим методом А. Вторая выборка - поля, обработанные агротехническим методом Б. Значения в выборках - это урожайность. Требуется выяснить, является ли один из методов эффективнее другого, или различия урожайности обусловлены случайными факторами.

Пример 3. Первая выборка - это дни, когда в супермаркете проходила промо-акция типа А (красные ценники со скидкой). Вторая выборка - дни промо-акции типа Б (каждая пятая пачка бесплатно). Значения в выборках - это показатель эффективности промо-акции (объём продаж, либо выручка в рублях). Требуется выяснить, какой из типов промо-акции более эффективен.

Описание критерия

Заданы две выборки .

Дополнительные предположения:

Иногда ошибочно считают, что U-критерий проверяет нулевую гипотезу равенства медиан в двух выборках. Существуют распределения, для которых гипотеза верна, но их медианы различны.

U-критерий можно применять для проверки гипотезы сдвига в качестве альтернативной , где - некоторая константа, отличная от нуля. При этой альтернативе U-критерий является состоятельным . Его целесообразно применять, если одним и тем же прибором проводятся две серии измерений двух значений некоторой физической величины. При этом функция распределения описывает погрешности измерения одного значения, а - другого. Однако во многих приложениях (в частности, эконометрических) нет особых оснований предполагать, что распределение второй выборки лишь сдвигается, но не меняется каким-либо иным образом.

U-критерий является непараметрическим аналогом критерия Стьюдента . Если выборки нормальные , то для проверки гипотезы сдвига предпочтительно применить более мощный критерий Стьюдента.

История

Данный метод выявления различий между выборками был предложен в 1945 году Френком Уилкоксоном. В 1947 году он был существенно переработан и расширен Манном и Уитни, по именам которых сегодня обычно и называется.

Литература

Mann H. B., Whitney D. R. On a test of whether one of two random variables is stochastically larger than the other. // Annals of Mathematical Statistics. - 1947, №18. - Pp. 50-60.
Wilcoxon F. Individual Comparisons by Ranking Methods. // Biometrics Bulletin 1. 1945. - Pp. 80–83.
Орлов А. И. Эконометрика. - М.: Экзамен, 2003. - 576 с. (§4.5 Какие гипотезы можно проверять с помощью двухвыборочного критерия Вилкоксона?)
Кобзарь А. И. Прикладная математическая статистика. - М.: Физматлит, 2006. - 816 с.

Контрольная работа

Методика «Домик»

Методика «Домик» (Н. И. Гуткина) представляет собой задание на срисовывание картинки с изображением дома, отдельные детали которого состоят из элементов прописных букв. Методика рассчитана на детей в возрасте 5-10 лет и может использоваться для определения готовности ребёнка к школе.

Цель исследования : определить способность ребёнка к копированию сложного образца.

Задание позволяет выявить умение ребёнка ориентироваться по образцу, точно его копировать, определить особенности развития непроизвольного внимания, пространственного восприятия, сенсомоторной координации и мелкой моторики рук.

Материалы : образец рисунка, лист бумаги, карандаш.

Ход исследования

Перед выполнением задания ребёнку даётся инструкция: «Перед тобой лежит лист бумаги и карандаш. Нарисуй на этом листе точно такую же картинку, как здесь (перед малышом кладётся лист с изображением дома). Не спеши, будь внимателен, постарайся, чтобы твой рисунок был точно таким же, как на образце. Если ты что-то нарисуешь не так, не стирай резинкой (проследить, чтобы у ребёнка не было резинки). Нужно поверх неправильного рисунка или возле него нарисовать правильно. Тебе понятно задание? Тогда приступай к работе».

По ходу выполнения задания необходимо зафиксировать:

1. Какой рукой рисует ребёнок (правой или левой).

2. Как он работает с образцом: как часто смотрит на него, проводит ли над рисунком-образцом линии, повторяющие контуры картинки, сравнивает ли нарисованное с образцом или рисует по памяти.

3. Быстро или медленно проводит линии.

4. Отвлекается ли во время работы.

5. Высказывания и вопросы во время рисования.

6. Сверяет ли после окончания работы свой рисунок с образцом.

Когда ребёнок сообщает об окончании работы, ему предлагается проверить, всё ли у него правильно. Если он увидит неточности в своём рисунке, то может их исправить, но это должно быть зафиксировано экспериментатором.

Обработка и анализ результатов

Обработка экспериментального материала проводится методом подсчёта баллов, которые начисляются за ошибки. Ошибки бывают такими.

1. Отсутствие любой детали картины (4 балла). На рисунке может отсутствовать забор (одна или две половины), дым, труба, крыша, штриховка на крыше, окно, линия, изображающая основу дома.

2. Увеличение отдельных деталей рисунка более чем в два раза при относительно правильном сохранении размера всего рисунка (3 балла за каждую увеличенную деталь).

3. Неправильно изображён элемент рисунка (3 балла). Неправильно могут быть изображены кольца дыма, забор, штриховка на крыше, окно, труба. Причём если неправильно нарисованы палочки, из которых состоит правая (левая) часть забора, то 2 балла начисляется не за каждую неправильную палочку, а за всю правую (левую) часть забора в целом. То же касается и колец дыма, выходящих из трубы, и штриховки на крыше дома: 2 балла начисляется не за каждое неправильное кольцо, а за весь неправильно скопированный дым; не за каждую неправильную линию в штриховке, а за всю штриховку крыши в целом.

Правая и левая части забора оцениваются отдельно: так, если неправильно срисована правая часть, а левая скопирована без ошибок (или наоборот), то ребёнок получает за нарисованный забор 2 балла; если же допущены ошибки и в правой, и в левой части, то 4 балла (за каждую часть по 2 балла). Если часть правого (левого) бока забора скопированы правильно, а часть неправильно, то за этот бок забора начисляется 1 балл; то же касается и колец дыма, и штриховки на крыше: если только одна часть колец дыма срисована правильно, то дым оценивается в 1 балл; если только одна часть штриховки на крыше воспроизведена правильно, то вся штриховка оценивается в 1 балл. Неправильно воспроизведенное количество элементов в детали рисунка не считается ошибкой, то есть не важно, сколько будет палочек на заборе, колец дыма или линий в штриховке крыши.

4. Неправильное расположение деталей в пространстве рисунка (1 балл). К ошибкам этого вида относятся: расположение забора не на общей с основой дома линии, а выше её, дом как будто висит в воздухе или ниже линии основы дома; смещение трубы к левому краю крыши; существенное смещение окна в любую сторону от центра; расположение дыма более чем на 30° отклонения от горизонтальной линии; основа крыши по размеру соответствует основе дома, а не превышает её (на образце крыша нависает над домом).

5. Отклонение прямых линий более чем на 30° от заданного направления (1 балл): вертикальных и горизонтальных линий, из которых состоит дом и крыша; палочек забора; изменение угла наклона боковых линий крыши (расположение их под прямым или тупым углом к основе крыши вместо острого); отклонение линии основы забора более чем на 30° от горизонтальной линии.

6. Разрывы между линиями в тех местах, где они должны быть соединены (1 балл за каждый разрыв). В том случае если линии штриховки на крыше не доходят до линии крыши, 1 балл ставится за всю штриховку в целом, а не за каждую неправильную линию штриховки.

7. Линии налезают друг на друга (1 балл за каждое налезание). В случае если линии штриховки на крыше залезают за линии крыши, 1 балл ставится за всю штриховку в целом, а не за каждую неправильную линию штриховки.

Хорошее выполнение рисунка оценивается в «0» баллов. Таким образом, чем хуже выполнено задание, тем выше суммарная оценка. Однако при интерпретации результатов эксперимента необходимо учитывать возраст ребёнка. Пятилетние дети почти не получают оценки «0» из-за недостаточной зрелости мозговых структур, отвечающих за сенсомоторную координацию.

При анализе детского рисунка необходимо обратить внимание на характер линий: очень жирные или «косматые» линии могут свидетельствовать о состоянии тревожности ребёнка. Но вывод о тревожности ни в коем случае нельзя делать лишь на основании этого рисунка. Подозрения необходимо проверить специальными методиками по определению тревожности.

Дети с зпр	Результаты в баллах	Дети в норме	результаты

Представим полученные данные в виде Гистограммы 1.

Гистограмма 1. Результаты, полученные по методике «Домик»

Постройте мне пожалуйста гистограму вот такую. Дети с задержкой психического развития имеют выше среднего (около 10%) и) средний уровень развития (около 30% и ниже среднего (60%)

В среднем дети с нормальным развитием имеют высокий уровень развития (около 60%), средний уровень развития (около 20%) и выше среднего 20%. Вы и тут тоже неправильно подписали мне преподаватель перечеркнул и сказал нечитаемо. вы должны были подписать 10 % выше среднего а не низкое как в 1-м красном столбце. Во 2 красном столбце подписать средний уровень развития (около 30%) а не низкий и в третьем красном ниже среднего 60. И вот по такой гистограмме вы должны построить измененную гистограмму. Я провела коррекционную работу и количество детей изменилось якобы: с низким уровнем ниже среднего большинство из них стало приближаться к среднему 60% детей, 40 % приближаться к высокому это дети со средним значением были. Т. Е. нужно построить экспериментальную группу и зпр: со средним 60 % и 40 высокое.

И мне нужно составить таблицу по критерию мани уитни нужно изменить данные опять таки чтобы ниже среднего уровень приближался к среднему и средний к высокому. Распишите пожалуйста таблицу количество испытуемых было 10 человек норма и 10 зпр. Просто мне не очень понятно как вы ранжировали как я понимаю вы подогнали результаты (об этом я вас просила) и проставили ранги а далее действовали по формуле… если не так то объясните. Грядёт защита курсовой. Расчёты будет проверять сам доцент кафедры психологии. Пожалуйста помогите..

Назначение U-критерия Манна-Уитни

Настоящий статистический метод был предложен Фрэнком Вилкоксоном (см. фото) в 1945 году. Однако в 1947 году метод был улучшен и расширен Х. Б. Манном и Д. Р. Уитни, посему U-критерий чаще называют их именами.

Критерий предназначен для оценки различий между двумя выборками по уровню какого-либо признака, количественно измеренного. Он позволяет выявлять различия между малыми выборками, когда n 1 ,n 2 ≥3 или n 1 =2, n 2 ≥5, и является более мощным, чем критерий Розенбаума.

Описание U-критерия Манна-Уитни

Существует несколько способов использования критерия и несколько вариантов таблиц критических значений, соответствующих этим способам (Гублер Е. В., 1978; Рунион Р., 1982; Захаров В. П., 1985; McCall R., 1970; Krauth J., 1988).

Этот метод определяет, достаточно ли мала зона перекрещивающихся значений между двумя рядами. Мы помним, что 1-м рядом (выборкой, группой) мы называем тот ряд значений, в котором значения, по предварительной оценке, выше, а 2-м рядом - тот, где они предположительно ниже.

Чем меньше область перекрещивающихся значений, тем более вероятно, что различия достоверны. Иногда эти различия называют различиями в расположении двух выборок (Welkowitz J. et al., 1982).

Эмпирическое значение критерия U отражает то, насколько велика зона совпадения между рядами. Поэтому чем меньше U эмп, тем более вероятно, что различия достоверны.

Гипотезы U - критерия Манна-Уитни

U -критерий Манна-Уитни используется для оценки различий между двумя малыми выборками (n 1 , n 2 ≥3 или n 1 =2, n 2 ≥5) по уровню количественно измеряемого признака.

Нулевая гипотеза H 0 ={уровень признака во второй выборке не ниже уровня признака в первой выборке}; альтернативная гипотеза - H 1 ={уровень признака во второй выборке ниже уровня признака в первой выборке}.

Рассмотрим алгоритм применения U-критерия Манна-Уитни:

1. Перенести все данные испытуемых на индивидуальные карточки, пометив карточки 1-й выборки одним цветом, а 2-й - другим.

2. Разложить все карточки в единый ряд по степени возрастания признака и проранжировать в таком порядке.

3. Вновь разложить карточки по цвету на две группы.

5. Определить большую из двух ранговых сумм .

6. Вычислить эмпирическое значение U :

, где - количество испытуемых в - выборке (i = 1, 2), - количество испытуемых в группе с большей суммой рангов.

7. Задать уровень значимости α и, используя специальную таблицу, определить критическое значение U кр (α) . Если , то H 0 на выбранном уровне значимости принимается.

Рассмотрим использование U критерия Манна-Уитни для нашего примера.

При ранжировании объединяем две выборки в одну. Ранги присваиваются в порядке возрастания значения измеряемой величины, т.е. наименьшему рангу соответствует наименьший балл. Заметим, что в случае совпадения баллов для нескольких испытуемых ранг такого балла следует считать, как среднее арифметическое тех позиций, которые занимают данные баллы при их расположении в порядке возрастания.

Используя предложенный принцип ранжирования, получим таблицу рангов. Заметим, что выбор среднего арифметического в качестве ранга применяется при любом ранжировании.

Чтобы использовать критерий Манна-Уитни, рассчитаем суммы рангов рассматриваемых выборок (см. таблицу).

Проведение исследования по методике дало следующие результаты:

Результаты расчета U-критерия Манна-Уитни по результатам исследования представлены в таблице 1 (ранжирование), на рисунке 1 (ось значимос ти):

	Дети в норме	Ранг 1	Дети с ЗПР	Ранг 2










Суммы:		72.5		137.5

17,5 19

Сумма для первой выборки равна 72,5, для второй - 137,5. Обозначим наибольшую из этих сумм через T x (T x =137.5). Среди объёмов n 1 =10 и n 2 =10 выборок наибольший обозначим n x 17,5

Полученное эмпирическое значение U эмп (17,5) находится в зоне значимости, а, следовательно, наша гипотеза подтвердилась.

Критическое значение критерия находим по специальной таблице. Пусть уровень значимости равен 0.05.

Гипотеза H0 о незначительности различий между баллами двух выборок принимается, если < . В противном случае H0 отвергается и различие определяется как существенное.

Следовательно, различия в уровне можно считать существенными.

Схема использования критерия Манна-Уитни выглядит следующим образом