Две и три проекции точки. Проецирование точки на три плоскости проекций

Поверхности многогранников, как известно, ограничены плоскими фигурами. Следовательно, точки, заданные на поверхности многогранника хотя бы одной проекцией, являются в общем случае определенными точками. То же относится к поверхностям других геометрических тел: цилиндра, конуса, шара и тора, ограниченных кривыми поверхностями.

Условимся изображать видимые точки, лежащие на поверхности тела, кружками, невидимые точки — зачерненными кружками (точками); видимые линии будем изображать сплошными, а невидимые — штриховыми линиями.

Пусть задана горизонтальная проекция А 1 точки А, лежащей на поверхности прямой треугольной призмы (рис. 162, а).

TBegin-->TEnd-->

Как видно из чертежа, переднее и заднее основания призмы параллельны фронтальной плоскости проекций П 2 и проецируются на нее без искажения, нижняя боковая грань призмы параллельна горизонтальной плоскости проекций П 1 и также проецируется без искажения. Боковые ребра призмы являются фронтально-проецирующими прямыми, поэтому на фронтальную плоскость проекций П 2 они проецируются в виде точек.

Поскольку проекция А 1 . изображена светлым кружком, то точка А — видимая и, следовательно, находится на правой боковой грани призмы. Эта грань является фронтально-проецирующей плоскостью, и фронтальная проекция А2 точки должна совпадать с фронтальной проекцией плоскости, изобразившейся прямой линией.

Проведя постоянную прямую k 123, находим третью проекцию А 3 точки А. При проецировании на профильную плоскость проекций точка А будет невидимой, поэтому точка А 3 изображена зачерненным кружком. Задание точки фронтальной проекцией В 2 является неопределенным, так как оно не определяет расстояния точки В от переднего основания призмы.

Построим изометрическую проекцию призмы и точки А (рис. 162, б). Построение удобно начать с переднего основания призмы. Строим треугольник основания по размерам, взятым с комплексного чертежа; по оси у" откладываем размер ребра призмы. Аксонометрическое изображение А" точки А строим с помощью координатной ломаной, обведенной на обоих чертежах двойной тонкой линией.

Пусть задана фронтальная проекция С 2 точки С, лежащей на поверхности правильной четырехугольной пирамиды, заданной двумя основными проекциями (рис. 163, а). Требуется построить три проекции точки С.

Из фронтальной проекции видно, что вершина пирамиды находится выше квадратного основания пирамиды. При этом условии все четыре боковые грани будут видимыми при проецировании на горизонтальную плоскость проекций П 1 . При проецировании на фронтальную плоскость проекций П 2 видимой будет только передняя грань пирамиды. Поскольку проекция С 2 изображена на чертеже светлым кружком, то точка С видимая и принадлежит передней грани пирамиды. Для построения горизонтальной проекции С 1 проводим через точку С 2 вспомогательную прямую D 2 Е 2 , параллельную линии основания пирамиды. Находим ее горизонтальную проекцию D 1 E 1 и на ней точку С 1. При наличии третьей проекции пирамиды горизонтальную проекцию точки С 1 находим более просто: найдя профильную проекцию С 3 , по двум проекциям строим третью с помощью горизонтальной и горизонтально-вертикальной линий связи. Ход построения показан на чертеже стрелками.

TBegin-->
TEnd-->

Построим диметрическую проекцию пирамиды и точки С (рис. 163, б). Строим основание пирамиды; для этого через точку О", взятую на оси r", проводим оси х" и у"; по оси х" откладываем действительные размеры основания, а по оси у" — уменьшенные вдвое. Через полученные точки проводим прямые, параллельные осям х" и у". По оси z" откладываем высоту пирамиды; полученную точку соединяем с точками основания, учитывая видимость ребер. Для построения точки С пользуемся координатной ломаной, обведенной на чертежах двойной тонкой линией. Для проверки точности решения проводим через найденную точку С прямую D"E", параллельную оси х". Ее длина должна быть равна длине прямой D 2 E 2 (или D 1 E 1).

Точка, как математическое понятие, не имеет размеров. Очевидно, если объект проецирования является нульмерным объектом, то говорить о его проецировании бессмысленно.

Рис.9 Рис.10

В геометрии под точкой целесообразно принимать физический объект, имеющий линейные измерения. Условно за точку можно принять шарик с бесконечно малым радиусом. При такой трактовке понятия точки можно говорить о ее проекциях.

При построении ортогональных проекций точки следует руководствоваться первым инвариантным свойством ортогонального проецирования: ортогональная проекция точки есть точка.

Положение точки в пространстве определяется тремя координатами: X, Y, Z, показывающие величины расстояний, на которые точка удалена от плоскостей проекций. Чтобы определить эти расстояния, достаточно определить точки встречи этих прямых с плоскостями проекций и измерить соответствующие величины, которые укажут соответственно значения абсциссы X , ординаты Y и аппликаты Z точки (рис. 10).

Проекцией точки является основание перпендикуляра, опущенного из точки на соответствующую плоскость проекций. Горизонтальной проекцией точки а называют прямоугольную проекцию точки на горизонтальной плоскости проекций, фронтальной проекцией а / – соответственно на фронтальной плоскости проекций и профильной а // – на профильной плоскости проекций.

Прямые Аа, Аa / и Аa // называются проецирующими прямыми. При этом прямую Аа, проецирующую точку А на горизонтальную плоскость проекций, называют горизонтально- проецирующей прямой, Аa / и Аa // - соответственно: фронтально и профильно-проецирущими прямыми.

Две проецирующие прямые, проходящие через точку А определяют плоскость, которую принято называть проецирующей.

При преобразовании пространственного макета, фронтальная проекция точки А – а / остается на месте, как принадлежащая плоскости, которая не менят своего положения при рассматриваемом преобразовании. Горизонтальная проекция – а вместе с горизонтальной плоскостью проекции повернется понаправлению движения часовой стрелки и расположится на одном перепендикуляре к оси Х с фронтальной проекцией. Профильная проекция - a // будет вращаться вместе с профильной плоскостью и к концу преобразования займет положение, указанное на рисунке 10. При этом - a // будет принадлежать перпендикуляру к оси Z , проведенному из точки а / и будет удалена от оси Z на такое же расстояние, на какое горизонтальная проекция а удалена от оси Х . Поэтому связь между горизонтально и профильной проекциями точки может быть установлена с помощью двух ортогональных отрезков аа y и а y a // и сопрягающей их дуги окружности с центром в точке пересечения осей (О – начало координат). Отмеченной связью пользуются для нахождения недостающей проекции (при двух заданных). Положение профильной (горизонтальной) проекции по заданным горизонтальной (профильной) и фронтальной проекциям может быть найдено с помощью прямой, проведенной под углом 45 0 из начала координат к оси Y (эту биссектрису называют прямой k – постоянной Монжа). Первый из указанных способов предпочтителен, как более точный.

Из этого следует:

1. Точка в пространстве удалена:

от горизонтальной плоскости H Z,

от фронтальной плоскости V на величину заданной координаты Y,

от профильной плоскости W на величину координаты.X.

2. Две проекции любой точки принадлежат одному перпендикуляру (одной линии связи):

горизонтальная и фронтальная – перпендикуляру к оси X,

горизонтальная и профильная – перпендикуляру к оси Y,

фронтальная и профильная – перпендикуляру к оси Z.

3. Положение точки в пространстве вполне определяется положением ее двух ортогональных проекций. Из этого следует – по двум любым заданным ортогональным проекциям точки всегда иожно построить недостающую ее третью проекцию.

Если точка имеет три определенные координаты, то такую точку называют точкой общего положения. Если у точки одна или две координаты имеют нулевое значение, то такую точку называют точкой частного положения.

Рис. 11 Рис. 12

На рисунке 11 дан пространственный чертеж точек частного положения, на рисунке 12 – комплексных чертеж (эпюр) этих точек. Точка А принадлежит фронтальной плоскости проекций, точка В – горизонтальной плоскости проекций, точка С – профильной плоскости проекций и точка D – оси абсцисс (Х ).

В этой статье мы найдем ответы на вопросы о том, как создать проекцию точки на плоскость и как определить координаты этой проекции. Опираться в теоретической части будем на понятие проецирования. Дадим определения терминам, сопроводим информацию иллюстрациями. Закрепим полученные знания при решении примеров.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Проецирование, виды проецирования

Для удобства рассмотрения пространственных фигур используют чертежи с изображением этих фигур.

Определение 1

Проекция фигуры на плоскость – чертеж пространственной фигуры.

Очевидно, что для построения проекции существует ряд используемых правил.

Определение 2

Проецирование – процесс построения чертежа пространственной фигуры на плоскости с использованием правил построения.

Плоскость проекции - это плоскость, в которой строится изображение.

Использование тех или иных правил определяет тип проецирования: центральное или параллельное .

Частным случаем параллельного проецирования является перпендикулярное проецирование или ортогональное: в геометрии в основном используют именно его. По этой причине в речи само прилагательное «перпендикулярное» часто опускают: в геометрии говорят просто «проекция фигуры» и подразумевают под этим построение проекции методом перпендикулярного проецирования. В частных случаях, конечно, может быть оговорено иное.

Отметим тот факт, что проекция фигуры на плоскость по сути есть проекция всех точек этой фигуры. Поэтому, чтобы иметь возможность изучать пространственную фигуру на чертеже, необходимо получить базовый навык проецировать точку на плоскость. О чем и будем говорить ниже.

Напомним, что чаще всего в геометрии, говоря о проекции на плоскость, имеют в виду применение перпендикулярной проекции.

Произведем построения, которые дадут нам возможность получить определение проекции точки на плоскость.

Допустим, задано трехмерное пространство, а в нем - плоскость α и точка М 1 , не принадлежащая плоскости α . Начертим через заданную точку М 1 прямую а перпендикулярно заданной плоскости α . Точку пересечения прямой a и плоскости α обозначим как H 1 , она по построению будет служить основанием перпендикуляра, опущенного из точки М 1 на плоскость α .

В случае, если задана точка М 2 , принадлежащая заданной плоскости α , то М 2 будет служить проекцией самой себя на плоскость α .

Определение 3

– это либо сама точка (если она принадлежит заданной плоскости), либо основание перпендикуляра, опущенного из заданной точки на заданную плоскость.

Нахождение координат проекции точки на плоскость, примеры

Пускай в трехмерном пространстве заданы: прямоугольная система координат O x y z , плоскость α , точка М 1 (x 1 , y 1 , z 1) . Необходимо найти координаты проекции точки М 1 на заданную плоскость.

Решение очевидным образом следует из данного выше определения проекции точки на плоскость.

Обозначим проекцию точки М 1 на плоскость α как Н 1 . Согласно определению, H 1 является точкой пересечения данной плоскости α и прямой a , проведенной через точку М 1 (перпендикулярной плоскости). Т.е. необходимые нам координаты проекции точки М 1 – это координаты точки пересечения прямой a и плоскости α .

Таким образом, для нахождения координат проекции точки на плоскость необходимо:

Получить уравнение плоскости α (в случае, если оно не задано). Здесь вам поможет статья о видах уравнений плоскости;

Определить уравнение прямой a , проходящей через точку М 1 и перпендикулярной плоскости α (изучите тему об уравнении прямой, проходящей через заданную точку перпендикулярно к заданной плоскости);

Найти координаты точки пересечения прямой a и плоскости α (статья – нахождение координат точки пересечения плоскости и прямой). Полученные данные и будут являться нужными нам координатами проекции точки М 1 на плоскость α .

Рассмотрим теорию на практических примерах.

Пример 1

Определите координаты проекции точки М 1 (- 2 , 4 , 4) на плоскость 2 х – 3 y + z - 2 = 0 .

Решение

Как мы видим, уравнение плоскости нам задано, т.е. составлять его необходимости нет.

Запишем канонические уравнения прямой a , проходящей через точку М 1 и перпендикулярной заданной плоскости. В этих целях определим координаты направляющего вектора прямой a . Поскольку прямая а перпендикулярна заданной плоскости, то направляющий вектор прямой a – это нормальный вектор плоскости 2 х – 3 y + z - 2 = 0 . Таким образом, a → = (2 , - 3 , 1) – направляющий вектор прямой a .

Теперь составим канонические уравнения прямой в пространстве, проходящей через точку М 1 (- 2 , 4 , 4) и имеющей направляющий вектор a → = (2 , - 3 , 1) :

x + 2 2 = y - 4 - 3 = z - 4 1

Для нахождения искомых координат следующим шагом определим координаты точки пересечения прямой x + 2 2 = y - 4 - 3 = z - 4 1 и плоскости 2 х - 3 y + z - 2 = 0 . В этих целях переходим от канонических уравнений к уравнениям двух пересекающихся плоскостей:

x + 2 2 = y - 4 - 3 = z - 4 1 ⇔ - 3 · (x + 2) = 2 · (y - 4) 1 · (x + 2) = 2 · (z - 4) 1 · (y - 4) = - 3 · (z + 4) ⇔ 3 x + 2 y - 2 = 0 x - 2 z + 10 = 0

Составим систему уравнений:

3 x + 2 y - 2 = 0 x - 2 z + 10 = 0 2 x - 3 y + z - 2 = 0 ⇔ 3 x + 2 y = 2 x - 2 z = - 10 2 x - 3 y + z = 2

И решим ее, используя метод Крамера:

∆ = 3 2 0 1 0 - 2 2 - 3 1 = - 28 ∆ x = 2 2 0 - 10 0 - 2 2 - 3 1 = 0 ⇒ x = ∆ x ∆ = 0 - 28 = 0 ∆ y = 3 2 0 1 - 10 - 2 2 2 1 = - 28 ⇒ y = ∆ y ∆ = - 28 - 28 = 1 ∆ z = 3 2 2 1 0 - 10 2 - 3 2 = - 140 ⇒ z = ∆ z ∆ = - 140 - 28 = 5

Таким образом, искомые координаты заданной точки М 1 на заданную плоскость α будут: (0 , 1 , 5) .

Ответ: (0 , 1 , 5) .

Пример 2

В прямоугольной системе координат O x y z трехмерного пространства даны точки А (0 , 0 , 2) ; В (2 , - 1 , 0) ; С (4 , 1 , 1) и М 1 (-1, -2, 5). Необходимо найти координаты проекции М 1 на плоскость А В С

Решение

В первую очередь запишем уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки:

x - 0 y - 0 z - 0 2 - 0 - 1 - 0 0 - 2 4 - 0 1 - 0 1 - 2 = 0 ⇔ x y z - 2 2 - 1 - 2 4 1 - 1 = 0 ⇔ ⇔ 3 x - 6 y + 6 z - 12 = 0 ⇔ x - 2 y + 2 z - 4 = 0

Запишем параметрические уравнения прямой a , которая будет проходить через точку М 1 перпендикулярно плоскости А В С. Плоскость х – 2 y + 2 z – 4 = 0 имеет нормальный вектор с координатами (1 , - 2 , 2) , т.е. вектор a → = (1 , - 2 , 2) – направляющий вектор прямой a .

Теперь, имея координаты точки прямой М 1 и координаты направляющего вектора этой прямой, запишем параметрические уравнения прямой в пространстве:

Затем определим координаты точки пересечения плоскости х – 2 y + 2 z – 4 = 0 и прямой

x = - 1 + λ y = - 2 - 2 · λ z = 5 + 2 · λ

Для этого в уравнение плоскости подставим:

x = - 1 + λ , y = - 2 - 2 · λ , z = 5 + 2 · λ

Теперь по параметрическим уравнениям x = - 1 + λ y = - 2 - 2 · λ z = 5 + 2 · λ найдем значения переменных x , y и z при λ = - 1: x = - 1 + (- 1) y = - 2 - 2 · (- 1) z = 5 + 2 · (- 1) ⇔ x = - 2 y = 0 z = 3

Таким образом, проекция точки М 1 на плоскость А В С будет иметь координаты (- 2 , 0 , 3) .

Ответ: (- 2 , 0 , 3) .

Отдельно остановимся на вопросе нахождения координат проекции точки на координатные плоскости и плоскости, которые параллельны координатным плоскостям.

Пусть задана точки М 1 (x 1 , y 1 , z 1) и координатные плоскости O x y , О x z и O y z . Координатами проекции этой точки на данные плоскости будут соответственно: (x 1 , y 1 , 0) , (x 1 , 0 , z 1) и (0 , y 1 , z 1) . Рассмотрим также плоскости, параллельные заданным координатным плоскостям:

C z + D = 0 ⇔ z = - D C , B y + D = 0 ⇔ y = - D B

И проекциями заданной точки М 1 на эти плоскости будут точки с координатами x 1 , y 1 , - D C , x 1 , - D B , z 1 и - D A , y 1 , z 1 .

Продемонстрируем, как был получен этот результат.

В качестве примера определим проекцию точки М 1 (x 1 , y 1 , z 1) на плоскость A x + D = 0 . Остальные случаи – по аналогии.

Заданная плоскость параллельна координатной плоскости O y z и i → = (1 , 0 , 0) является ее нормальным вектором. Этот же вектор служит направляющим вектором прямой, перпендикулярной к плоскости O y z . Тогда параметрические уравнения прямой, проведенной через точку M 1 и перпендикулярной заданной плоскости, будут иметь вид:

x = x 1 + λ y = y 1 z = z 1

Найдем координаты точки пересечения этой прямой и заданной плоскости. Подставим сначала в уравнение А x + D = 0 равенства: x = x 1 + λ , y = y 1 , z = z 1 и получим: A · (x 1 + λ) + D = 0 ⇒ λ = - D A - x 1

Затем вычислим искомые координаты, используя параметрические уравнения прямой при λ = - D A - x 1:

x = x 1 + - D A - x 1 y = y 1 z = z 1 ⇔ x = - D A y = y 1 z = z 1

Т.е., проекцией точки М 1 (x 1 , y 1 , z 1) на плоскость будет являться точка с координатами - D A , y 1 , z 1 .

Пример 2

Необходимо определить координаты проекции точки М 1 (- 6 , 0 , 1 2) на координатную плоскость O x y и на плоскость 2 y - 3 = 0 .

Решение

Координатной плоскости O x y будет соответствовать неполное общее уравнение плоскости z = 0 . Проекция точки М 1 на плоскость z = 0 будет иметь координаты (- 6 , 0 , 0) .

Уравнение плоскости 2 y - 3 = 0 возможно записать как y = 3 2 2 . Теперь просто записать координаты проекции точки M 1 (- 6 , 0 , 1 2) на плоскость y = 3 2 2:

6 , 3 2 2 , 1 2

Ответ: (- 6 , 0 , 0) и - 6 , 3 2 2 , 1 2

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

При прямоугольном проецировании система плоскостей проекций представляет собой две взаимно перпендикулярные плоскости проекций (рис. 2.1). Одну условились располагать горизонтально, а другую - вертикально.

Плоскость проекций, расположенную горизонтально, называют горизонтальной плоскостью проекций и обозначают щ, а плоскость, ей перпендикулярную, - фронтальной плоскостью проекций л 2 . Саму систему плоскостей проекций обозначают п/п 2 . Обычно употребляют сокращенные выражения: плоскость Л[, плоскость п 2 . Линию пересечения плоскостей щ и к 2 называют осью проекций ОХ. Она делит каждую плоскость проекций на две части - полы. Горизонтальная плоскость проекций имеет переднюю и заднюю, а фронтальная - верхнюю и нижнюю полы.

Плоскости щ и п 2 делят пространство на четыре части, называемые четвертями и обозначаемые римскими цифрами I, II, III и IV (см. рис. 2.1). Первой четвертью называют часть пространства, ограниченную верхней полой фронтальной и передней полой горизонтальной плоскостей проекций. Для остальных четвертей пространства определения аналогичны предыдущему.

Все машиностроительные чертежи представляют собой изображения, построенные на одной плоскости. На рис. 2.1 система плоскостей проекций является пространственной. Для перехода к изображениям на одной плоскости условились совмещать плоскости проекций. Обычно плоскость п 2 оставляют неподвижной, а плоскость П поворачивают по направлению, указанному стрелками (см. рис. 2.1), вокруг оси ОХ на угол 90° до совмещения ее с плоскостью п 2 . При таком повороте передняя пола горизонтальной плоскости опускается вниз, а задняя поднимается вверх. После совмещения плоскости имеют вид, изобра-

женный на рис. 2.2. Считают, что плоскости проекций непрозрачны и наблюдатель всегда находится в первой четверти. На рис. 2.2 обозначение невидимых после совмещения пол плоскостей взято в скобки, как это принято для выделения на чертежах невидимых фигур.

Проецируемая точка может находиться в любой четверти пространства или на любой плоскости проекций. Во всех случаях для построения проекций через нее проводят проецирующие прямые и находят точки встречи их с плоскостями 711 и 712, которые и являются проек- циями.

Рассмотрим проецирование точки, расположенной в первой четверти. Заданы система плоскостей проекций 711/712 и точка А (рис. 2.3). Через нее проводят две прямые ЛИНИИ, перпендикулярные ПЛОСКОСТЯМ 71) И 71 2 . Одна из них пересечет плоскость 711 в точке А ", называемой горизонтальной проекцией точки А, а другая - плоскость 71 2 в точке А ", называемой фронтальной проекцией точки А.

Проецирующие прямые АА " и АА " определяют плоскость проецирования а. Она перпендикулярна плоскостям Кип 2 , так как проходит через перпендикуляры к ним и пересекает плоскости проекций по прямым А "Ах и А "А х. Ось проекций ОХ перпендикулярна плоскости ос, как линия пересечения двух плоскостей 71| и 71 2 , перпендикулярных третьей плоскости (а), а следовательно, и любой прямой, лежащей в ней. В частности, 0X1А"А х и 0X1А "А х.

При совмещении плоскостей отрезок А "А х, расположенный на плоскости к 2 , остается неподвижным, а отрезок А "А х вместе с плоскостью 71) будет повернут вокруг оси ОХ до совмещения с плоскостью 71 2 . Вид совмещенных плоскостей проекций вместе с проекциями точки А приведен на рис. 2.4, а. После совмещения точки А ", А х и А " окажутся расположенными на одной прямой, перпендикулярной оси ОХ. Отсюда следует вывод, что две проекции одной и той же точки

лежат на общем перпендикуляре к оси проекции. Этот перпендикуляр, соединяющий две проекции одной и той же точки, называют линией проекционной связи.

Чертеж на рис. 2.4, а можно значительно упростить. Обозначения совмещенных плоскостей проекций на чертежах не отмечают и прямоугольники, условно ограничивающие плоскости проекций, не изображают, так как плоскости безграничны. Упрощенный чертеж точки А (рис. 2.4, б) называют также эпюром (от франц. ?pure - чертеж).

Изображенный на рис. 2.3 четырехугольник AE4 "А Х А " является прямоугольником и его противоположные стороны равны и параллельны. Поэтому расстояние от точки А до плоскости П , измеряемое отрезком АА ", на чертеже определяется отрезком А "А х. Отрезок же А "А х = АА" позволяет судить о расстоянии от точки А до плоскости к 2 . Таким образом, чертеж точки дает полное представление о ее расположении относительно плоскостей проекций. Например, по чертежу (см. рис. 2.4, б) можно утверждать, что точка А расположена в первой четверти и удалена от плоскости п 2 на меньшее расстояние, чем от плоскости тс ь так как А "А х А "А х.

Перейдем к проецированию точки во второй, третьей и четвертой четвертях пространства.

При проецировании точки В, расположенной во второй четверти (рис. 2.5), после совмещения плоскостей обе ее проекции окажутся выше оси ОХ.

Горизонтальная проекция точки С, заданной в третьей четверти (рис. 2.6), расположена выше оси ОХ, а фронтальная - ниже.

Точка Д изображенная на рис. 2.7, расположена в четвертой четверти. После совмещения плоскостей проекций обе ее проекции окажутся ниже оси ОХ.

Сравнивая чертежи точек, находящихся в разных четвертях пространства (см. рис. 2.4-2.7), можно заметить, что для каждой характерно свое расположение проекций относительно оси проекций ОХ.

В частных случаях проецируемая точка может лежать на плоскости проекций. Тогда одна ее проекция совпадает с самой точкой, а другая будет расположена на оси проекций. Например, для точки Е, лежащей на плоскости щ (рис. 2.8), горизонтальная проекция совпадает с самой точкой, а фронтальная находится на оси ОХ. У точки Е, расположенной на плоскости к 2 (рис. 2.9), горизонтальная проекция на оси ОХ, а фронтальная совпадает с самой точкой.

Пусть на линии, являющейся проекцией ребра треугольной пирамиды (рис. 91), задана фронтальная проекция А" точки А. Поскольку точка А принадлежит ребру пирамиды, то проекции точки должны лежать на проекциях этого ребра. Следовательно, нужно сначала на чертеже найти проекции данного ребра, а затем при помощи линий связи отыскать на них проекции точки.

Рис. 91

При этом пользуются следующим правилом: если точка лежит на прямой (рис. 92, а), то на чертеже ее проекции лежат на одноименных проекциях этой прямой (рис. 92, б), т. е. горизонтальная проекция А" точки А лежит на горизонтальной проекции l" прямой l и т. д. Обе проекции точки соединяет одна линия связи.

Рис. 92

Горизонтальная проекция А" точки А должна лежать на горизонтальной проекции ребра, поэтому проводим из точки А" вертикальную линию связи. В месте ее пересечения с проекцией ребра находится точка А" - горизонтальная проекция точки А. Профильная проекция А"" точки А лежит на профильной проекции ребра.

Так находят проекции любых точек, лежащих на ребрах предметов.

Однако иногда приходится строить проекции точек, лежащих не на ребрах, а на гранях. Что-бы по одной проекции точки, лежащей на грани предмета, найти остальные, нужно прежде всего найти проекции этой грани. Затем при помощи линий связи надо отыскать проекции точки, ко-торые должны лежать на проекциях грани.

Пусть на чертеже предмета (рис. 93, а) заданы горизонтальная проекция А" точки А и фронтальная проекция B" точки Б. Заданные точки лежат на видимых гранях предмета.

Рис. 93

По вертикальной линии связи найдем сначала фронтальную проекцию А" точки А, а затем, пользуясь постоянной прямой чертежа (см. п. 8.3), на профильной проекции грани найдем профильную проекцию А"" точки A.

Линию связи сначала проводят к той проекции, на которой грань изображается в виде отрезка прямой.

Построение проекций точки B, заданной фронтальной проекцией B", показано линиями связи со стрелками (рис. 93, б).

Постоянную прямую чертежа можно использовать также в решении задач на построение отсутствующих проекций предметов, когда, например, по двум имеющимся на чертеже проекциям предмета нужно построить третью (рис. 94). В этом случае расположение постоянной прямой чертежа определяет место строящейся проекции.